二进制

第1课什么是二进制

我们从小数的十进制有 0–9 十个数字，逢十进一；二进制只有 0 和 1 两个数字，逢二进一。它不是新数学，只是把「满几进位」的规则从 10 换成了 2。

为什么计算机用它？因为电路天生只有两种稳定状态：通电 / 断电、高电压 / 低电压——正好对应 1 和 0。用两种状态表示信息最可靠，不怕干扰，所以计算机里的一切（文字、图片、音乐）最终都是一串 0 和 1。

二进制里的一位叫一个比特（bit），是信息的最小单位。8 个比特组成一个字节（byte），能表示 0–255 共 256 个数。

第2课学着数一数（互动）

二进制数数：0、1、10、11、100、101、110、111、1000……规律只有一个：每次 +1 时，末位 0 变 1；如果末位已经是 1，就把它变 0、向左边进一位（逢二进一）。

点「+1」慢慢数，观察哪几位翻变了（金色高亮）；也可以让它自动数一遍 0 → 15。

第3课位权：每一位值多少

十进制每一位有自己的「身价」：个、十、百、千……二进制也一样，从右往左依次是 1、2、4、8、16、32……，每一位都是前一位的 2 倍（2 的幂）。

一个二进制数的值 = 把是 1 的位权加起来。这是全部二进制学习的核心，记住了后面都顺。

动手试试：点击下面的方框切换 0 / 1，观察十进制、十六进制怎么变。每个方框上方的数字就是这一位的位权。

第4课二进制 → 十进制：按权展开

方法：把是 1 的那些位的位权加起来，0 的位直接跳过。

小窍门：先看最高位的位权是多少，心里就有了「这个数大概是多大」的底。

第5课十进制 → 二进制：两种方法

方法一：减法拼凑（心算首选）——先找不超过它的最大的 2 的幂，减掉，对剩下的数重复，直到 0。用过哪些位权，哪些位就是 1：

方法二：除二取余（笔算通用）——不断除以 2 记下余数，最后把余数从下往上读：

第6课手指计数法：一只手数到 31

把一只手的五根手指当成 5 个比特：竖起 = 1，收起 = 0。位权分配：

一只手就能表示 0–31，两只手（10 指）能数到 1023。试试：竖起拇指和食指 = 1 + 2 = 3；只竖小指 = 16；五指全竖 = 31。

第7课实用规律与心算技巧

• 看末位辨奇偶：末位是 1 就是奇数，是 0 就是偶数。
• 末尾添 0 = 乘 2：101（5）→ 1010（10）。去掉末位 = 除以 2 取整，这叫「移位」。
• 连续 n 个 1 = 2ⁿ − 1：1111 = 16 − 1 = 15，1111 1111 = 256 − 1 = 255。
• 1 后面 n 个 0 = 2ⁿ：1000 = 8，1 0000 = 16，1 0000 0000 = 256。
• 记牢 2 的幂：1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024——心算的地基。

第8课十六进制：二进制的「缩写」

二进制写起来太长，程序员常用十六进制来缩写：0–9 之后用 A、B、C、D、E、F 表示 10–15，书写时常加前缀 0x（如 0xC5）。

妙处在于：每 4 个比特正好等于 1 位十六进制，分组转换毫不费力：

第9课位运算：对比特的四种基本操作

位运算是把两个二进制数逐位比较的运算（竖式对齐看每一列）：

用途举例：AND 用来「摘出」某几位（掩码），OR 用来「打开」某几位，XOR 用来「翻转」某几位。左移 1 位 = 乘 2，右移 1 位 = 除以 2 取整。

第10课生活中的二进制

• 文件大小：1 字节 = 8 比特；1 KB = 1024 字节，1 MB = 1024 KB，1 GB = 1024 MB。
• IP 地址：192.168.1.1 的每一节都是 0–255，正好 1 个字节。
• 颜色：网页颜色 #FF8000 是 3 个字节的十六进制，分别表示红、绿、蓝的浓度（00–FF）。
• 网速：100 Mbps 里的 b 是小写比特；除以 8 才是每秒下载的字节数（约 12.5 MB/s）。